Dengan induksi matematika, rumus deret 3 + 8 + 13 + 18 + … + (5n – 2) adalah

Diposting pada

Dengan induksi matematika, rumus deret 3 + 8 + 13 + 18 + … + (5n – 2) adalah
A. 5/2 (n2 + n)
B. 5n2 + 2n
C. 5/2 n2 + n
D. 5/2 n2 + ½ n
E. 5n2 + n

Pembahasan:
Diketahui: deret: 3+8+13+18+…+(5n-2)
Ditanya: rumus deret dan bukti dengan induksi matematika
Jawab:
• Rumus deret
Sn = ½n(U₁+Un) = ½n(3+5n-2) = ½n(5n+1)
Jadi, rumus deret tersebut adalah ½n(5n+1).
• Pernyataan
P(n): 3+8+13+18+…+(5n-2) = ½n(5n+1)
Akan dibuktikan dengan induksi matematika.
• Langkah awal
Akan dibuktikan untuk n = 1.
Ruas kiri:
5·1-2 = 5-2 = 3
Ruas kanan:
½·1(5·1+1) = ½(5+1) = ½·6 = 3
Karena 5·1-2 = ½·1(5·1+1), maka pernyataan terbukti untuk n = 1.
• Langkah induksi
Asumsikan pernyataan benar untuk n = k, yaitu:
3+8+13+18+…+(5k-2) = ½k(5k+1)
Akan dibuktikan untuk n = k+1, yaitu:
3+8+13+18+…+(5k-2)+(5(k+1)-2) = ½(k+1)(5(k+1)+1)
Akan dibuktikan dari ruas kiri.
3+8+13+18+…+(5k-2)+(5(k+1)-2)
= ½k(5k+1)+(5(k+1)-2)
= ½k(5k+1)+(5(k+1)-2)
= ⁵⁄₂k²+½k+(5k+5-2)
= ⁵⁄₂k²+½k+5k+3
= ½(5k²+k+10k+6)
= ½(5k²+11k+6)
= ½(k+1)(5k+6)
= ½(k+1)(5k+5+1)
= ½(k+1)(5(k+1)+1)
Karena 3+8+13+18+…+(5k-2)+(5(k+1)-2) = ½(k+1)(5(k+1)+1), maka pernyataan terbukti untuk n = k+1. Jadi, P(n) terbukti.

 49 total views,  1 views today

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *